Molti studenti che studiano matematica superiore nei loro anni da senior probabilmente si sono chiesti: dove vengono applicate in pratica le equazioni differenziali (DE)? Di norma, questo problema non viene discusso nelle lezioni e gli insegnanti passano immediatamente alla risoluzione di DE senza spiegare agli studenti l'applicazione delle equazioni differenziali nella vita reale. Cercheremo di colmare questa lacuna.
Iniziamo definendo un'equazione differenziale. Quindi, un'equazione differenziale è un'equazione che collega il valore della derivata di una funzione con la funzione stessa, i valori della variabile indipendente e alcuni numeri (parametri).
L'area più comune in cui vengono applicate le equazioni differenziali è la descrizione matematica dei fenomeni naturali. Sono anche utilizzati nella risoluzione di problemi in cui è impossibile stabilire una relazione diretta tra alcuni valori che descrivono un processo. Tali problemi sorgono in biologia, fisica, economia.
In biologia:
Il primo modello matematico significativo che descrive le comunità biologiche è stato il modello Lotka - Volterra. Descrive una popolazione di due specie interagenti. Il primo di essi, detto predatore, in assenza del secondo si estingue secondo la legge x ′ = –ax (a> 0), e il secondo - preda - in assenza di predatori si moltiplica indefinitamente secondo la legge di Malthus. L'interazione di questi due tipi è modellata come segue. Le vittime muoiono ad una velocità pari al numero di incontri di predatori e prede, che in questo modello si assume essere proporzionale alla dimensione di entrambe le popolazioni, cioè pari a dxy (d> 0). Pertanto, y ′ = per - dxy. I predatori si riproducono ad una velocità proporzionale al numero di prede mangiate: x ′ = –ax + cxy (c> 0). Sistema di equazioni
x ′ = –ax + cxy, (1)
y ′ = da - dxy, (2)
il predatore-preda che descrive una tale popolazione è chiamato sistema (o modello) di Lotka-Volterra.
In fisica:
La seconda legge di Newton può essere scritta sotto forma di un'equazione differenziale
m ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t), dove m è la massa del corpo, x è la sua coordinata, F (x, t) è la forza che agisce sul corpo di coordinata x al tempo t. La sua soluzione è la traiettoria del corpo sotto l'azione della forza specificata.
In economia:
Modello di crescita naturale della produzione
Assumeremo che alcuni prodotti siano venduti a un prezzo fisso P. Sia Q (t) la quantità di prodotti venduti al tempo t; allora in questo momento il reddito è uguale a PQ (t). Lascia che una parte del reddito specificato venga spesa per investimenti nella produzione di prodotti venduti, ad es.
I (t) = mPQ (t), (1)
dove m è il tasso di investimento - un numero costante e 0
